本課程是人工智能數學基礎系列的第一部分，重點回顧初等函數核心性質，并系統介紹函數極限定義、極坐標與參數方程表示法。這些概念是后續機器學習、深度學習算法的理論基礎。

一、初等函數核心性質回顧

1. 有界性

函數在定義域內取值存在上下界。例如：正弦函數y=sin x在[-1,1]內有界。在AI中，激活函數（如Sigmoid）的有界性確保神經元輸出穩定。

2. 單調性

函數在區間內保持遞增或遞減趨勢。ReLU激活函數在x>0時嚴格遞增，這是深度學習模型收斂的關鍵性質。

3. 奇偶性

奇函數滿足f(-x)=-f(x)，偶函數滿足f(-x)=f(x)。卷積神經網絡中的濾波器設計常利用此性質。

4. 周期性

函數值按固定周期重復出現。傅里葉變換處理時序數據時，周期性分析至關重要。

二、函數極限的精確定義

采用ε-δ語言嚴格定義：對任意ε>0，存在δ>0，使得當0<|x-x0|<δ時，|f(x)-L|<ε成立。這個定義是梯度下降法、反向傳播等優化算法的理論基礎。

三、極坐標與參數方程

極坐標表示

點位置用(r,θ)表示，其中r為極徑，θ為極角。在計算機視覺中，極坐標常用于圖像旋轉不變性處理。

參數方程

曲線用參數t表示：x=x(t), y=y(t)。機器人運動軌跡規劃、三維建模都依賴參數方程。

四、人工智能軟件開發應用

掌握這些數學工具后，開發者能夠：

1. 設計合適的激活函數和損失函數
2. 實現優化算法的收斂性分析
3. 處理計算機視覺中的幾何變換
4. 構建穩定的數值計算程序

建議配合Python的NumPy、SymPy庫進行實踐練習，將理論知識與實際編程相結合。